Méthode de Monte-Carlo

On suppose que l’on souhaite intégrer une fonction  $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ . 

Le principe de l'algorithme de Monte-Carlo est le suivant : on prend un point au hasard dans le plan et on regarde si celui-ci est au-dessus ou en dessous de la courbe représentative de la fonction $f$ . On compte alors la proportion de points sous la courbe parmi ceux tirés au hasard et on utilise cette proportion pour estimer l’intégrale de  $f$ entre  $a$ et $b$ .

On note  $M$ le maximum de notre fonction sur cet intervalle (celui-ci existe bel et bien, en vertu du théorème de Weierstrass que vous rencontrerez lors de vos études supérieures). Si l’on ne parvient pas à le déterminer directement, on peut tout aussi bien se contenter d’un majorant.

On initialise un compteur  $C$ à 0, puis on recommence les étapes suivantes  $n$ fois.

• On choisit alors un réel au hasard et de manière uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ : on note  $x$ ce réel. Le programme ne parle pas de telles lois de probabilités sur des espaces continus, mais nous laisserons Python s’en charger pour nous.
  
• On choisit un autre réel  $y$ au hasard, de manière uniforme et indépendante du premier réel sur l’intervalle $[0;M]$ .
  
• Si  \(y, on incrémente le compteur  $C$ de 1. Sinon, on ne fait rien.
  
• On renvoie alors la valeur ${\displaystyle \frac{C}{n}}\times M\times (b-a)$ .

Exercice

1. Expliquer pourquoi la valeur utilisée pour estimer l'intégrale est ${\displaystyle \frac{C}{n}}\times M\times (b-a)$ .

2. Implémenter l'algorithme précédent à l'aide de la fonction suivante.

La fonction uniform permet de choisir un nombre aléatoire de manière uniforme.

3. Utiliser alors cet algorithme pour estimer l'intégrale entre $-1$ et $1$ de la fonction  $f$ définie par $f(x)=2\sqrt{1-x^2}$  (on admettra que cette fonction est majorée par 2). Quelle valeur semble-t-on retrouver ?

from random import uniform
from math import sqrt

def f(x) :
    return ...

def montecarlo(f, a, b, M, n):
    '''Estime l'intégrale de f entre a et b à l'aide de la méthode de Monte-Carlo
    --------
    Entrées : 
    f : une fonction continue et positive sur [a,b]
    a : borne inférieure de l'intervalle d'intégration
    b : borne supérieure de l'intervalle d'intégration
    M : maximum ou majorant de la fonction
    n : nombre de points à tirer au hasard
    '''
    C = ...
    for i in range(n):
        x = uniform(a,b)
        y = uniform(0,M)
        if ... :
            C = C + 1
    return ...